Derivát

Derivátové pravidlá

Derivátové pravidlá a zákony. Tabuľka derivátov funkcií.

• Derivátová definícia
• Derivátové pravidlá
• Tabuľka derivátov funkcií
• Príklady derivátov

Derivátová definícia

Derivácia funkcie je pomer rozdielu funkčnej hodnoty f (x) v bodoch x + Δx a x s Δx, keď je Ax nekonečne malé. Derivácia je funkčný sklon alebo sklon dotyčnice v bode x.

Druhý derivát

Druhý derivát je daný:

Alebo jednoducho odvodíte prvý derivát:

Deviaty derivát

N th derivát sa vypočíta odvodenie f (x) n-krát.

K n th derivát sa rovná derivát (n-1) derivát:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Príklad:

Nájdite štvrtý derivát

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Derivát na grafe funkcie

Derivácia funkcie je sklon tangenciálnej čiary.

Derivátové pravidlá

Pravidlo derivátovej sumy

Keď a a b sú konštanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Príklad:

Nájdite derivát:

3 x ² + 4 x.

Podľa pravidla sumy:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Derivátové produktové pravidlo

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivátové kvocientové pravidlo

Derivátové reťazové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo možno lepšie pochopiť Lagrangeovou notáciou:

Funkcia lineárnej aproximácie

Pre malé Δx môžeme získať aproximáciu k f (x ₀ + Δx), keď poznáme f (x ₀ ) a f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + A x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) A x

Tabuľka derivátov funkcií

Príklady derivátov

Príklad č. 1

f ( x ) = x ³ + 5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + ² + 5 x + 1 + 0 = 3 x ² + 10 x +1

Príklad č. 2

f ( x ) = hriech (3 x ² )

Pri použití pravidla reťazca:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Druhý derivátový test

Keď je prvá derivácia funkcie v bode x _{0 nula} .

f '( x ₀ ) = 0

Potom druhý derivát v bode x ₀ , f '' (x ₀ ) môže označovať typ tohto bodu: