Přirozený logaritmus (ln)

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

E konstanta nebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln jako inverzní funkce k exponenciální funkci

Přirozená logaritmická funkce ln (x) je inverzní funkcí exponenciální funkce e ^x .

Pro x> 0

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Nebo

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravidla a vlastnosti přirozeného logaritmu

Název pravidla	Pravidlo	Příklad
Pravidlo součtu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravidlo podílu	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravidlo umocňování	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
Derivace	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integrace	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln záporného čísla	ln ( x ) není definováno, když x ≤ 0
přirozený logaritmus nula	ln (0) není definováno
Přirozený logaritmus jedné	ln (1) = 0
Přirozený logaritmus nekonečna	lim ln ( x ) = ∞, když x → ∞
Přirozený logaritmus mínus jedna	ln (-1) = i π

Pravidlo součtu

Logaritmus násobení x a y je součet logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Například:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Pravidlo podílu

Logaritmus dělení x a y je rozdíl logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Například:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Pravidlo umocňování

Logaritmus x umocněný na y je y krát logaritmus x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Například:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Derivace přirozeného logaritmu

Derivace přirozené logaritmické funkce je vzájemná funkce.

Když

f ( x ) = ln ( x )

Derivát f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrace přirozeného logaritmu

Integrál funkce přirozeného logaritmu je dán:

Když

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln z 0

Přirozený logaritmus nuly není definován:

ln (0) není definováno

Limit blízko 0 přirozeného logaritmu x, když x se blíží nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Přirozený logaritmus jedné je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Mez přirozeného logaritmu nekonečna, když x se blíží k nekonečnu, se rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, když x → ∞

Komplexní logaritmus

Pro komplexní číslo z:

z = re ^iθ = x + iy

Komplexní logaritmus bude (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( 9 + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktan ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) není definováno pro nepozitivní hodnoty x:

Tabulka přirozených logaritmů

Logaritmická pravidla »