Logaritmická změna základny

Logaritmická změna základního pravidla

Abychom mohli změnit základnu z b na c, můžeme použít logaritmickou změnu základního pravidla. Základní logaritmus b x se rovná základní logaritmu c x dělenému základním logaritmem b:

log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )

Příklad č. 1

log ₂ (100) = log ₁₀ (100) / log ₁₀ (2) = 2 / 0,30103 = 6,664386

Příklad č. 2

log ₃ (50) = log ₈ (50) / log ₈ (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766

Důkaz

Zvyšování b pomocí síly základny b logaritmus x dává x:

(1) x = b ^log b ^{( x )}

Zvyšování c pomocí síly základny c logaritmus b dává b:

(2) b = c ^log c ^{( b )}

Když vezmeme (1) a nahradíme b logem c ^log c ^{( b )} (2), dostaneme:

(3) x = b ^log b ^{( x )} = ( c ^log c ^{( b )} ) ^log b ^{( x )} = c ^log c ^{( b ) × log} b ^{( x )}

Použitím log _c () na obou stranách (3):

log _c ( x ) = log _c ( c ^log c ^{( b ) × log} b ^{( x )} )

Použitím pravidla moci logaritmu :

log _c ( x ) = [log _c ( b ) × log _b ( x )] × log _c ( c )

Protože log _c ( c ) = 1

log _c ( x ) = log _c ( b ) × log _b ( x )

Nebo

log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )

Logaritmus nuly »