Kvadratická rovnice

Kvadratická rovnice je polynom druhého řádu se 3 koeficienty - a , b , c .

Kvadratická rovnice je dána:

ax ² + bx + c = 0

Řešení kvadratické rovnice je dáno 2 čísly x ₁ a x ₂ .

Kvadratickou rovnici můžeme změnit na formu:

( x - x ₁ ) ( x - x ₂ ) = 0

Kvadratický vzorec

Řešení kvadratické rovnice je dáno kvadratickým vzorcem:

Výraz uvnitř druhé odmocniny se nazývá diskriminační a označuje se Δ:

A = b ² - 4 ac

Kvadratický vzorec s diskriminačním zápisem:

Tento výraz je důležitý, protože nám může říci o řešení:

• Když Δ> 0, jsou 2 skutečné kořeny x ₁ = (- b + √ Δ ) / (2a) a x ₂ = (- b-√ Δ ) / (2a) _.
• Když A = 0, existuje jeden kořen x ₁ = x ₂ = -b / (2a) _.
• Když A <0, neexistují žádné skutečné kořeny, existují 2 komplexní kořeny:
  x ₁ = (- b + i√ -A ) / (2a) a x ₂ = (- bi√ -A ) / (2a) _.

Problém č. 1

3 x ² +5 x +2 = 0

řešení:

a = 3, b = 5, c = 2

x _1,2 = (-5 ± √ (5 ² - 4 × 3 × 2)) / (2 × 3) = (-5 ± √ (25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6

x ₁ = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3

x ₂ = (-5 - 1) / 6 = -6/6 = -1

Problém č. 2

3 x ² -6 x +3 = 0

řešení:

a = 3, b = -6, c = 3

x _1,2 = (6 ± √ ((-6) ² - 4 × 3 × 3)) / (2 × 3) = (6 ± √ (36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6

x ₁ = x ₂ = 1

Problém č. 3

x ² +2 x +5 = 0

řešení:

a = 1, b = 2, c = 5

x _1,2 = (-2 ± √ (2 ² - 4 × 1 × 5)) / (2 × 1) = (-2 ± √ (4-20)) / 2 = (-2 ± √ (-16) )) / 2

Neexistují žádná skutečná řešení. Hodnoty jsou komplexní čísla:

x ₁ = -1 + 2 i

x ₂ = -1 - 2 i

Kvadratický funkční graf

Kvadratická funkce je polynomická funkce druhého řádu:

f ( x ) = ax ² + bx + c

 

Řešení kvadratické rovnice jsou kořeny kvadratické funkce, které jsou průsečíky grafu kvadratické funkce s osou x, když

f ( x ) = 0

 

Pokud existují 2 průsečíky grafu s osou x, existují 2 řešení kvadratické rovnice.

Pokud existuje 1 průsečík grafu s osou x, existuje 1 řešení kvadratické rovnice.

Pokud neexistují žádné průsečíky grafu s osou x, nedostaneme skutečná řešení (nebo 2 komplexní řešení).