Konvoluce

Konvoluce je korelační funkce f (τ) s obrácenou funkcí g (t-τ).

Operátor konvoluce je symbolem hvězdičky * .

• Nepřetržitá konvoluce
• Diskrétní konvoluce
• 2D diskrétní konvoluce
• Implementace filtru s konvolucí
• Konvoluční věta

Nepřetržitá konvoluce

Konvoluce f (t) ag (t) se rovná integrálu f (τ) krát f (t-τ):

Diskrétní konvoluce

Převod 2 diskrétních funkcí je definován jako:

2D diskrétní konvoluce

Pro zpracování obrazu se obvykle používá dvourozměrná diskrétní konvoluce.

Implementace filtru s konvolucí

Diskrétní vstupní signál x (n) můžeme filtrovat pomocí konvoluce s impulzní odezvou h (n), abychom dostali výstupní signál y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

Konvoluční věta

Fourierova transformace násobení 2 funkcí se rovná konvoluci Fourierových transformací každé funkce:

ℱ { f  ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

Fourierova transformace konvoluce 2 funkcí se rovná násobení Fourierových transformací každé funkce:

ℱ { f  * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

 

Konvoluční věta pro kontinuální Fourierovu transformaci

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

Konvoluční věta pro diskrétní Fourierovu transformaci

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

Konvoluční věta pro Laplaceovu transformaci

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )