Derivace funkce

Derivační pravidla

Derivační pravidla a zákony. Tabulka derivátů funkcí.

• Definice derivace
  
• Pravidla derivace
  
• Tabulka derivací funkcí
• Příklady derivací

Definice derivace

Derivace funkce je poměr rozdílu funkční hodnoty f (x) v bodech x + Δx a x s Δx, když je A nekonečně malé. Derivace je funkční sklon nebo sklon tečné čáry v bodě x.

Druhá derivace

Druhá derivace je dána:

Nebo jednoduše odvozením z první derivace:

N-tá derivace

N-tá  derivace se vypočítá odvozením f (x) n-krát.

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Příklad:

Najděte čtvrtou derivaci

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Derivace na grafu funkce

Derivace funkce je sklon tangenciální přímky.

Derivační pravidla

Pravidlo derivace součtu

Když a a b jsou konstanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Příklad:

Najděte derivát:

3 x ² + 4 x.

Podle pravidla součtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x )‘= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo derivace součinu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivační kvocient

Derivační řetězové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo lze lépe pochopit Lagrangeovým zápisem:

Funkce lineární aproximace

Pro malé Δx můžeme získat aproximaci k f (x ₀ + Δx), když známe f (x ₀ ) a f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + A x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) A x

Tabulka derivátů funkcí

Příklady derivátů

Příklad č. 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

Příklad č. 2

f ( x ) = hřích (3 x ² )

Při použití pravidla řetězu:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Druhý derivátový test

Když je první derivace funkce v bodě x ₀ nula .

f '( x ₀ ) = 0

Pak druhá derivace v bodě x ₀ , f '' (x ₀ ), může označovat typ tohoto bodu: